Jednym z kluczowych atrybutów dobrej inwestycji jest jej wysoka stopa zwrotu. Zaistnienie takiej sytuacji oznacza bowiem, że zainwestowane pieniądze wygenerowały bardzo duży dochód. W matematyce finansowej oraz innych pokrewnych dziedzinach wyróżnia się dwa rodzaje tego miernika.
Prosta stopa zwrotu
Pierwszy z nich, czyli zwykła stopa zwrotu, jest wynikiem ilorazu przyrostu wartości względem kapitału początkowego. W obliczaniu tego rodzaju stopy zwrotu pomocny będzie następujący wzór:
Gdzie: rt – zwykła stopa zwrotu, K1 – wartość kapitału po upływie okresu inwestycji, K0 – wartość kapitału zainwestowanego.
Tym samym jeśli np. zakupiono dany walor za kwotę 2000 zł (tutaj: K0), a po pewnym czasie sprzedano go za 2500 zł (tutaj: K1), wówczas zwykła stopa zwrotu będzie ilorazem 500 oraz 2000 zł. Wynik 25% oznacza, że zainwestowane pieniądze wygenerowały zysk w wysokości 25% kapitału początkowego.
Logarytmiczna stopa zwrotu
Drugą (w pewnym aspekcie łatwiejszą metodą) jest obliczanie logarytmicznej stopy zwrotu. Wzór na nią jest z jednej strony prosty, ponieważ jest to iloraz dwóch składników (wartości obecnej oraz kapitału początkowego), a z drugiej nieco bardziej skomplikowany, ponieważ z uzyskanej wartości należy obliczyć logarytm naturalny (o podstawie e, czyli tzw. liczby Eulera, wynoszącej w przybliżeniu 2,72).
Gdzie: rl – logarytmiczna stopa zwrotu.
Wprawdzie obliczenie logarytmicznej stopy zwrotu w pamięci jest niemożliwe nawet dla najbardziej zaawansowanych matematyków, jednakże z pomocą przychodzi nam arkusz kalkulacyjny (np. MS Excel), w którym posługując się funkcją LN() możemy obliczyć tę wartość dla powyższego przykładu. Przybliżony do dwóch miejsc po przecinku wynik 22,31% wskazuje, że wartości zwykłej i logarytmicznej stopy zwrotu są z jednej strony podobne, a z drugiej nie są sobie równe.
W powyższym przykładzie bardziej odzwierciedlającą rzeczywistość informację niesie korzystanie ze zwykłej stopy zwrotu. Dlaczego zatem warto mimo wszystko znać stopę logarytmiczną i w jakiej sytuacji może nam ona pomóc?
Walka z wahaniami
Przede wszystkim konieczne staje się tutaj zrozumienie faktu, że pierwsza ze stóp zwrotu jest zdecydowanie bardziej wrażliwa na wahania. Z tego powodu analizując chociażby ceny akcji lub poszczególnych indeksów giełdowych warto zwrócić uwagę na to, że stosowanie prostej stopy zwrotu może prowadzić do sytuacji, w której uzyskamy zawyżoną wartość. Ponadto chcąc korzystać z tego narzędzia musimy zadbać o to, żeby posiadać odpowiednio liczną próbę, która „uchroni” nas przed szkodliwym wpływem wartości odstających. Można to zagadnienie zilustrować hipotetycznym, mocno abstrakcyjnym przykładem, w których chcielibyśmy obliczyć średnioroczną stopę zwrotu z indeksu WIG20 obejmującego 20 największych spółek polskiego przemysłu. Jeżeli w wybranym roku odnotowano stopę zwrotu rzędu 30%, to zdecydowanie bardziej wpłynie ona na wynik w próbie obejmującej 5 lat, niż w szeregu czasowym obejmującym stopy zwrotu z 25 lat.
Z pomocną dłonią analitykom rynków finansowych w takiej sytuacji wychodzi funkcja logarytmu naturalnego. Stosując bowiem poniższą procedurę:
- Zamiana zwykłych stóp zwrotu na logarytmiczne.
- Utworzenie regresji zwykłej dla nowego wykresu (np. z pomocą opcji „Dodaj linię trendu” po utworzeniu wykresu liniowego w pakiecie MS Word).
Gdzie parametr a informuje nas o tym, o ile okresu na okres (roku na rok) średnio rośnie/maleje logarytmiczna stopa zwrotu, z kolei parametr b dostarcza informacji odnośnie tego ile wynosiła powyższa stopa zwrotu w okresie t=0.
Przykładowo, jeżeli oszacowana przez nas funkcja trendu będzie określona wzorem:
Oznacza to, że w „okresie zerowym” logarytmiczna stopa zwrotu z inwestycji wynosiła 0,5% i z okresu na okres (z roku na rok) wzrastała o 0,1%.
- Skorzystanie ze wzoru:
możemy uzyskać prognozowaną stopę zwrotu na następny okres z danej inwestycji. W ten sposób podstawiając powyższe dane do tego wzoru można uzyskać prognozę, wg której stopa zwrotu z inwestycji w pierwszym, prognozowanym okresie, wyniesie (przyjęto, że obliczamy prognozę na 20 okres):
Jeżeli chcemy uzyskać prognozy dla dłuższego okresu, wówczas należy obliczyć stosowną potęgę liczby e podniesioną do uzyskanych przez nas wartości. Wtedy bowiem powrócimy z logarytmów na „zwykłe” liczby, które można interpretować na potrzeby naszych potencjalnych zachowań na rynkach finansowych.
Oszacowane w ten sposób prognozy będą obarczone najmniejszym błędem, a także będą zdecydowanie bardziej odporne na wpływ wahań rynkowych, które mogłyby doprowadzić każdego inwestora do podjęcia niewłaściwych decyzji.
